Атом водорода - Решение уравнения Шрёдингера

Химия - Атом водорода - Решение уравнения Шрёдингера

01 марта 2011

Оглавление:
1. Атом водорода
2. Решение уравнения Шрёдингера
3. Математическое описание атома водорода
4. Визуализация орбиталей атома водорода
5. См

Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции не обязательно сферически симметричны непосредственно, их зависимость от угловой координаты следуют полностью из этой изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента l и m. Квантовое число углового момента l может принимать значения 0, 1, 2… и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, .., +l определяет проекцию углового момента на ось z.

В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1/r радиальные волновые функции записываются с использованием полиномов Лагерра). Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основное квантовое число n и может принимать значения 1, 2, 3… Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничена основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, …, n−1.

Из-за сохранения углового момента, состояния с тем же l, но различными m имеют ту же самую энергию. Однако, это — определенная особенность атома водорода и не верно для более сложных атомов, которые имеют потенциал, отличающийся от кулоновского.

Если мы примем во внимание спин электрона, то появится последнее квантовое число, проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z, которая может принимать два значения. Поэтому, любое собственное состояние электрона в водородном атоме описывается полностью четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантования направления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и m ', полученных для другой выделенной оси Z ', всегда представляется как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m, которые были получены для Z.

Рассмотрим сейчас решение уравнения Шредингера для атома водорода. Так как потенциальная функция электрона в атоме водорода имеет вид $U=-\tfrac{e^2}{r}$ , где e — заряд электрона, r — радиус вектор, уравнение Шредингера запишется следующим образом:

$\Delta\psi + \frac{2m}{\hbar^2} \left \psi = 0$

Здесь ψ — волновая функция электрона в системе отсчёта протона, m — масса электрона, где $\hbar = {h \over 2 \pi}$ , $\! h$ — постоянная Планка, E — полная энергия электрона, $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ — оператор Лапласа. Так как потенциальная функция зависит от r, а не от координат по отдельности, удобно будет записать лапласиан в сферической системе координат . В ней он выглядит следующим образом:

$\Delta\psi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2} + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left$

И уравнение Шредингера в сферических координатах:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2} + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left + \frac{2m}{\hbar^2} \left \psi = 0$

В этом уравнении ψ — функция трех переменных . Разделим его на три более простых уравнения. Для этого представим функцию ψ как произведение трех функций: ψ = RΘΦ. Эти функции будем обозначать просто R,Θ,Φ. Тогда

${\frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}r}} = {\frac{{\partial}R}{{\partial}r}}{\Theta}{\Phi}, ~~{\frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}{\theta}}} = {\frac{{\partial}{\Theta}}{{\partial}{\theta}}}R{\Phi}, ~~{\frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}{\phi}}} = {\frac{{\partial}{\Phi}}{{\partial}{\phi}}}{\Theta}R$ .

После подстановки значений частных производных в уравнение Шредингера получим:

${\frac{1}{r^2}}{\frac{\partial}{{\partial}r}} \left{\Theta}{\Phi} + {\frac{1}{{r^2}{\sin^2}{\theta}}}{\frac{{{\partial}^2}{\Phi}}{{\partial}{{\phi}^2}}{\Theta}{R}} + {\frac{1}{{r^2}{\sin}{\theta}}}{\frac{\partial}{{\partial}{\theta}}} \left{R}{\Phi} + {\frac{2m}{\hbar^2}}{ \left{R}{\Theta}{\Phi}} = 0$

Умножим уравнение на $\tfrac{r^2\sin^2\theta}{R\Theta\Phi}$ :

${\frac{{\sin^2}{\theta}}{R}}{\frac{\partial}{{\partial}r}} \left + {\frac{1}{\Phi}}{\frac{{{\partial}^2}{\Phi}}{{\partial}{{\phi}^2}}} + {\frac{\sin\theta}{\Theta}}{\frac{\partial}{{\partial}{\theta}}} \left + \frac{2mr^2\sin^2\theta}{\hbar^2} \left = 0$

Второе слагаемое тут зависит только от $~{\phi}$ . Перенесем его в правую часть равенства.

$\frac{\sin^2\theta}{R} \frac{\partial}{\partial r} \left + \frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left + \frac{2mr^2\sin^2\theta}{\hbar^2} \left = - \frac{1}{\Phi} \frac{\partial^2\Phi}{\partial\phi^2}~~~$

Равенство возможно, когда обе части равны какой-то постоянной величине. Обозначим ее $~{m_l}^2$ . Следовательно,

${\frac{{{\partial}^2}{\Phi}}{{{\partial}{\phi}}^2}}=-{{m_l}^2}{\Phi}$

Решением этого уравнения являются функции

${\Phi}=A~{\sin,~~{\Phi}=A\cos$

Угол $~{\phi}$ может изменяться от 0 до 2π. Функция Φ должна быть периодической с периодом 2π. Это возможно только если $m_l = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,\dots$ Таким образом, из решения уравнения Шредингера получаем значение одного из квантовых чисел. Число m_l называется магнитным квантовым числом.

Далее, интегрируя квадрат модуля функции Φ от 0 до 2π и приравнивая полученное выражение 1, получим что $A=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ .

Далее рассмотрим левую часть уравнения $~$ . Она, конечно, равна $m_l^2$ :

$~{\frac{{\rm{sin}^2}{\theta}}{R}}{\frac{\partial}{{\partial}r}} \left + {\frac{\sin\theta}{\Theta}}{\frac{\partial}{{\partial}{\theta}}} \left + \frac{2mr^2\sin^2\theta}{\hbar^2} \left = m_l^2$

Разделим уравнение на sinθ:

$\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} \left + \frac{1}{\Theta\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left + \frac{2mr^2}{\hbar^2} \left = \frac{m_l^2}{\sin^2\theta}$

После аналогичного вышеуказанному перенесению второго слагаемого в правую часть и обозначения величины, которой равны эти части, через β, получаем

$\frac{m_l^2}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\Theta\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left = \beta$

$\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} \left + \frac{2mr^2}{\hbar^2} \left = \beta$

Решение этих двух последних уравнений приводит к значениям $\ l$ и n соответственно. 3 квантовых числа в совокупности полностью описывают состояния электрона в атоме водорода.

Модуль полной энергии электрона в стационарном состоянии в атоме водорода обратно пропорционален n. Число n называется главным квантовым числом. Оно может иметь значения от 1 до $\infty$ . Его связь с энергией см. ниже.

Число $\ l$ называется азимутальным квантовым числом и определяет момент количества движения электрона и форму электронного облака; может иметь значения от 0 до n − 1.

Магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента количества движения на выбранную ось в магнитном поле. Эта проекция равна $m_l \hbar$ .

<<< Неон

Водород в металлах >>>

Химики
Бытовая химия
Химические вещества
Химические законы и уравнения
История химии
Лабораторная техника

Химическое машиностроение
Награды в области химических наук
Химическая номенклатура
Химическое образование
Химические общества
Химическая промышленность

Разделы химии
Химические реакции
Химические свойства
Химическая связь
Химические системы
Химические теории