Химия - Плазменные волны в графене

01 марта 2011





Как и в обычных полупроводниках в графене электронно-дырочный газ можно рассматривать как плазму и соответственно ставить вопрос о том какие волны могут наблюдаться в твёрдом теле. Благодаря отличию закона дисперсии от параболического ожидается, что и свойства волн будут другими. Плазменные волны в ДЭГ в графене теоретически рассматривались в работе .

Вывод

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

\frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf{v}_p\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}+e\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{r}}\frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}}=0.\qquad

Здесь функция распределения электронов f=f зависит от координат, импульсов и времени. \phi=\phi — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты \mathbf{p}=. Также скорость электронов задаётся формулой \mathbf{v}_{\mathbf{p}}=v_F\frac{\mathbf{p}}{p}, где p=|\mathbf{p}|.

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

\frac{V_g-\phi}{W_g}=\frac{4\pi e}{\varepsilon}\Sigma,\qquad

где Vg — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, Wg — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \varepsilon, а концентрация электронов Σ задаётся по формуле

\Sigma=\frac{g_sg_v}{^2}\int{d^2\mathbf{p}f},\qquad

которая аналогична выражению.

Совместное решение уравнений и в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения ищется в виде

f=f_0+\delta fe^{i},\qquad

где к равновесной функции распределения добавляется малая поправка в виде плоской волны. Потенциал также является малым возмущением

\phi=\delta\phi e^{i}.\qquad

При подстановки решений и в и приходим к уравнениям на δf и δφ с точностью до первого порядка малости

\left\delta f=-ek\frac{\partial f_0}{\partial p_x}\delta\phi,\qquad
\delta\phi=-\frac{2eW_g}{\pi\varepsilon\hbar^2}\int{d^2\mathbf{p}f}.\qquad

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть k_BT\ll E_F. Для ω > vFk получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

\omega=\frac{kv_F}{\sqrt{1-\left^2}}=ks,\qquad

где

\alpha=\sqrt{\frac{4g_sg_ve^3W_gV_g}{\varepsilon\hbar^2v_F^2}}.\qquad.

Фазовая и групповая скорости равны

s=\frac{v_F}{\sqrt{1-\left^2}}.\qquad

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрено в работе .



Просмотров: 1264


<<< Парадокс Клейна (графен)
Подвешенный графен >>>