Химия - Уравнение Дирака для графена - Вывод
01 марта 2011Оглавление:
1. Уравнение Дирака для графена
2. Вывод
3. Произвольный поворот системы координат
Зонная структура
Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид
где t — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода между соседними атомами, операторы и операторы рождения действующие на треугольных подрешётках кристалла ΛA и ΛB соответственно, и — операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:
Шесть векторов и указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями
Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения
где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде
где приняты следующие обозначения:
и
Выражение можно получить если подставить в. Рассмотрим сумму
которую, использовав соотношения можно записать в виде
или
Используя соотношение
получим после интегрирования по выражение
Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане приводит к искомому результату.
Собственные значения гамильтониана принимают значения
которые определяют зонную структуру графена.
Низкоэнергетическое приближение
Зоны с положительной энергией и с отрицательной энергией касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны
Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами
Рассмотрим недиагональный элемент гамильтониана. Разложим его вблизи дираковских точек по малому параметру d
Для разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде
где фермиевская скорость и
Здесь и — матрицы Паули.
Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана, то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене
Решением уравнени Дирака для графена Hψ = Eψ будет четырёхкомпонентный столбец вида
где индексы и соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.
Просмотров: 3086
|