Химия - Уравнения Блоха

28 февраля 2011


Оглавление:
1. Уравнения Блоха
2. Уравнения Блоха во вращающейся системе координат
3. Простые решения уравнений Блоха



Макроскопические уравнения, используемые для вычисления ядерной намагниченности M = как функции времени с временами релаксации T1 и T2. Находят широкое применение в таких отраслях физики как ЯМР, МРТ и ЭПР. Названы в честь лауреата Нобелевской премии по физике Феликса Блоха, впервые введшего их в 1946 году . В литературе иногда называются уравнениями движения ядерной намагниченности.

Уравнения в лабораторной системе координат

Пусть M =, My, Mz) ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха имеют следующий вид:

\frac {d M_x} {d t} = \gamma \times \bold {B}  ) _x - \frac {M_x} {T_2}
\frac {d M_y} {d t} = \gamma \times \bold {B}  ) _y - \frac {M_y} {T_2}
\frac {d M_z} {d t} = \gamma \times \bold {B}  ) _z - \frac {M_z - M_0} {T_1}

здесь γ -гиромагнитное отношение, а B =, By, B0 + ΔBz) - напряженность магнитного поля на ядре. Z-компонента вектора В есть сумма постоянной и изменяющейся во времени ΔBz, использующейся в частности для пространственного разрешения ЯМР-сигнала. × - знак векторного произведения векторов. M0 - стационарное значение ядерной намагниченности вдоль внешнего приложенного поля.

Физическое обоснование

Уравнения Блоха феноменологические. При отсутствии релаксации уравнения Блоха упрощаются до:

\frac {d M_x} {d t} = \gamma \times \bold {B}  ) _x
\frac {d M_y} {d t} = \gamma \times \bold {B}  ) _y
\frac {d M_z} {d t} = \gamma \times \bold {B}  ) _z

или в векторной записи:

\frac {d \bold {M}} {d t} = \gamma  \bold {M} \times \bold {B}

Это уравнение Ларморовской прецессии ядерной намагниченности M вокруг внешнего приложенного поля B.

Члены

\left

отвечают процессу продольной и поперечной релаксации ядерной намагниченности M.

Уравнения Блоха являются макроскопическими: они являются уравнениями движения для макроскопической ядерной намагниченности, которая может быть получена сложением отдельных ядерных магнитных моментов образца. Для описания поведения каждого магнитного момента они не пригодны.

Альтернативная форма записи уравнений Блоха

После открытия скобок векторного произведения и введения Mxy, Вxy согласно

M_{xy} = M_x + iM_y \text{  и  } B_{xy} = B_x + iB_y\,

,получим

\frac {d M_{xy}} {d t} = -i \gamma \left B_z - M_z B_{xy} \right ) -
\frac {M_{xy}} {T_2} .
\frac {d M_z} {d t} = i \gamma \left \overline{B_{xy}} - 
\overline {M_{xy}} B_{xy} \right )
- \frac {M_z - M_0} {T_1}

Здесь i = √ и :\overline {M_{xy}} = M_x - i M_y .

Действительная и мнимая части Mxy соответствуют Mx и My. Mxy также иногда называется поперечной ядерной намагниченностью.



Просмотров: 2741


<<< Эксклюзионная хроматография