Химия - Зонная структура графена

01 марта 2011





Зонная структура графена рассчитана в статье . На внешней оболочке атома углерода находится 4 электрона, три из которых образуют sp² гибридизированные связи с соседними атомами в решётки, а оставшийся электрон находится в 2pz состоянии. В нашем рассмотрении он отвечает за образование энергетических зон графена.

Вывод

См. также «Физический портал»

В приближении сильно связанных электронов полная волновая функция всех электронов кристалла запишется в виде суммы волновых функций электронов из разных подрешёток

\psi=\phi_1+\lambda\phi_2,\qquad

где коэффициент λ — параметр, который определяется из системы уравнений. Входящие в уравнение волновые функции φ1 и φ2, которые по смыслу означают амплитуды волновых функций на определённой подрешётке кристалла, запишутся в виде суммы волновых функций отдельных электронов в различных подрешётках кристалла

\phi_1=\sum_Ae^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_A}X,\qquad
\phi_2=\sum_Be^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_B}X.\qquad

Здесь \mathbf{r}_A и \mathbf{r}_B — радиус-векторы направленные на узлы кристаллической решётки, а X и X — волновые функции электронов, локализованных вблизи этих узлов. В приближении сильно связанных электронов мы можем пренебречь перекрытием волновых функций соседних атомов.

S_{12}=\int{XXd\mathbf{r}}=0\qquad

Теперь подставив в уравнение Шрёдингера Hψ = Eψ нашу волновую функцию получим для энергетического спектра носителей и неизвестного параметра λ следующую систему уравнений

H11 + λH12 = ES + ES12λ
H_{21}+\lambda H_{22}=\lambda ES+ES_{12}\qquad

или в матричном виде


\left(
  \begin{array}{cc}
    H_{11} & H_{12}\\
    H_{21} & H_{22} \\
  \end{array}
\right)\left(
  \begin{array}{cc}
    1   \\
    \lambda   \\
  \end{array}
\right)=\left(
  \begin{array}{cc}
    ES & ES_{12} \\
    ES_{12} & ES \\
  \end{array}\right) \left(
  \begin{array}{cc}
    1  \\
     \lambda  \\
  \end{array}
\right)\qquad
Рис. 1: Ближайшие атомы в окружении центрального узла решётки. Красная пунктирная окружность соответствует ближайшим соседям из той же самой подрешётки кристалла, а зелёная окружность соответствует атомам из второй подрешётки кристала.

где используются следующие обозначения для интегралов

H_{jj}=\int\phi_j^{*}H\phi_jd\mathbf{r}\qquad
H_{12}=H_{21}^{*}=\int\phi_1^{*}H\phi_2d\mathbf{r}\qquad
S=\int\phi_j^{*}\phi_jd\mathbf{r}\qquad.

Которую можно решить относительно E.

E=\frac{1}{2S}\left^2+4|H_{12}|^2}\right)\qquad

Здесь можно сделать некие упрощения

S = N,
H11 = H22,
H_{11}^{\,'}=H_{22}^{\,'}=\frac{1}{N}H_{11}=\frac{1}{N}H_{22},
H_{12}^{\,'}=\frac{1}{N}H_{12},\qquad

где N — число элементарных ячеек в кристалле. С этими равенствами мы приходим к уравнению

E=H_{11}^{\,'}\pm|H_{12}^{\,'}|\qquad

Это уравнение мы тоже упростим, избавившись от первого слагаемого, которое соответствует некой постоянной энергии и малому изменению энергии по сравнению со вторым членом, отвечающим интегралу перекрытия волновых функций соседних атомов из той же подрешётки. Другими словами — взаимодействию волновой функции центрального атома с волновыми функциями атомов, расположенных на красной окружности. Нас будет интересовать только особенность спектра связанного со вторым слагаемым, которое зависит от интегралов перекрытия ближайших атомов из разных подрешёток и. Энергетический спектр запишется в виде

E=\pm|H_{12}^{\,'}|\qquad

Интеграл перекрытия можно представить в виде

\gamma_0=-\int{X^{*}HXd\mathbf{r}},\qquad

где \mathbf{\rho} — радиус-вектор направленный в позиции ближайших соседей. Для величины H_{12}^{\,'} после подставления волновых функций и в выражение получим

H_{12}^{\,'}=\frac{1}{N}\sum_{A,B}{\exp{}\int{X^{*}HXd\mathbf{r}}}.\qquad

Откуда после некоторых упрощений и используя координаты для ближайших соседей получим

H_{12}^{\,'}=-\gamma_0\left]}+2\cos{\pi k_ya}\exp{}\right).\qquad

В итоге приходим к интересующему нас энергетическому спектру вида

E=\pm\sqrt{\gamma_0^2\left},\qquad

где знак «+» соответствует электронам, а «-» —дыркам.



Просмотров: 1413


<<< Дробный квантовый эффект Холла (графен)
Квантовый эффект Холла в графене >>>