Теорема Редфилда Пойа

Химия - Теорема Редфилда Пойа

01 марта 2011

Оглавление:
1. Теорема Редфилда Пойа
2. Теорема Редфилда—Пойа

Теорема Редфилда — Пойа — классический результат перечислительной комбинаторики.

Впервые эта теорема была получена и опубликована Редфилдом в 1927 году, но работа была сочтена весьма специальной и осталась незамеченной. Пойа независимо доказал то же самое в 1937 году, но оказался куда более успешным популяризатором — так, например, в первой же публикации он показал применимость этого результата к перечислению химических соединений.

Вводные определения

Пусть заданы два конечных множества X и Y, а также весовая функция $w:Y\rightarrow \mathbb{N}$ . Положим n = | X | . Без потери общности можно считать, что $X = \{1,2,\ldots,n\}$ .

Рассмотрим множество функций $F = \{ f\mid f:X\rightarrow Y \}$ . При этом вес функции f определяется как

$w = \sum_{x\in X} w\left\right)$ .

Пусть на множестве X действует некоторая подгруппа A симметрической группы S_n. Введем отношение эквивалентности на F

$f \sim g\quad\Longleftrightarrow\quad f = g\circ a$ для некоторого $a\in A$ .

Класс эквивалентности f обозначим через и будем называть орбитой f. Так как веса эквивалентных функций совпадают, то можно определить вес орбиты как w = w.

Пусть

$c_k = \left|\{ y\in Y \mid w=k \}\right|$ — число элементов Y веса k;