Уравнение Дирака для графена

Химия - Уравнение Дирака для графена - Вывод

01 марта 2011

Оглавление:
1. Уравнение Дирака для графена
2. Вывод
3. Произвольный поворот системы координат

Зонная структура

Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид

$H=-t\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}b-t\sum_{i\in\Lambda_B}\sum_{j=1}^3b^{\dagger}a,\qquad$

где t — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода между соседними атомами, операторы $a^{\dagger}$ и $b^{\dagger}$ операторы рождения действующие на треугольных подрешётках кристалла Λ_A и Λ_B соответственно, $a$ и $b$ — операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:

$_{+}=_{+}=\delta_{ii^{'}}. \qquad$

Шесть векторов $\textbf{u}_i$ и $\textbf{v}_i$ указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями

$\textbf{u}_1=,\,\textbf{u}_2=\left,\,\textbf{u}_3=\left,\qquad$

$\textbf{v}_1=,\,\textbf{v}_2=\left,\,\textbf{v}_3=\left.\qquad$

Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения

$a=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a},b=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{b},\qquad$

где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде

$H=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{^2}\tilde{\psi}^{\dagger}\tilde{H}\tilde{\psi},\qquad$

где приняты следующие обозначения:

$\tilde{\psi}=\left,\tilde{b}\right)^{T},\,\tilde{\psi}^{\dagger}=\left,\tilde{b}^{\dagger}\right),\qquad$

$\tilde{H}=\left( \begin{array}{cc} 0 & -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j} \\ -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_j} & 0 \\ \end{array} \right). \qquad$

Выражение можно получить если подставить в. Рассмотрим сумму

$\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}b,\qquad$

которую, использовав соотношения можно записать в виде

$\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{^2}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a\dagger}\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{^2}e^{i\textbf{k}^{'}}\tilde{b},\qquad$

или

$\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{^2}\tilde{a\dagger}\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{^2}\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}^{'}\textbf{u}_j}\tilde{b}.\qquad$

Используя соотношение

$\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}=^2\delta\left,\qquad$

получим после интегрирования по $\textbf{k}^{'}$ выражение

$\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{^2}\tilde{a\dagger}\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\tilde{b}.\qquad$

Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане приводит к искомому результату.

Собственные значения гамильтониана принимают значения

$E=\pm t\sqrt{\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\sum_{j^{'}=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_{j^{'}}}}=\pm t\sqrt{\left\left}=$

$\pm t\sqrt{\left\left}=\pm t\sqrt{1+4\cos\left\left},\qquad$

которые определяют зонную структуру графена.

Низкоэнергетическое приближение

Зоны с положительной энергией и с отрицательной энергией касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны

$\left,\,\left,\,\left,\,\left,\,\left,\,\left.\qquad$

Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами

$\textbf{K}^{\pm}=\left.\qquad$

Рассмотрим недиагональный элемент гамильтониана. Разложим его вблизи дираковских точек по малому параметру d

$\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\tilde{H}_{12}|_{\textbf{k}=\textbf{K}^{\pm}+\boldsymbol{\kappa}}=-t\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\left\right)=\frac{3t}{2 }.\qquad$

Для разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде

$\left( \begin{array}{cc} H^{+} & 0 \\ 0 & H^{-} \\ \end{array} \right)=\hbar v_F, \qquad$

где фермиевская скорость $v_F=3td\hbar^{-1}/2$ и

$\alpha^1=-\left( \begin{array}{cc} \sigma^2 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \\ \end{array} \right),\,\alpha^2=\left( \begin{array}{cc} \sigma^1 & 0 \\ 0 & -\sigma^1 \\ \end{array} \right). \qquad$

Здесь и — матрицы Паули.

Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана, то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене

$H=-i\hbar v_F. \qquad$

Решением уравнени Дирака для графена Hψ = Eψ будет четырёхкомпонентный столбец вида

$\psi=^{T}, \qquad$

где индексы и соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.

<<<

Химики
Бытовая химия
Химические вещества
Химические законы и уравнения
История химии
Лабораторная техника

Химическое машиностроение
Награды в области химических наук
Химическая номенклатура
Химическое образование
Химические общества
Химическая промышленность

Разделы химии
Химические реакции
Химические свойства
Химическая связь
Химические системы
Химические теории